Xem Nhiều 12/2022 #️ Phép Nhân Ma Trận Excel 2010 (Mmult) / 2023 # Top 21 Trend | Trucbachconcert.com

Xem Nhiều 12/2022 # Phép Nhân Ma Trận Excel 2010 (Mmult) / 2023 # Top 21 Trend

Cập nhật thông tin chi tiết về Phép Nhân Ma Trận Excel 2010 (Mmult) / 2023 mới nhất trên website Trucbachconcert.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.

Trước đây chúng ta đã trình bày về cách đánh giá nghịch đảo của ma trận. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng Excel vốn có MMULT chức năng để tìm ra phép nhân ma trận trực tiếp, thay vì sử dụng công thức thủ công. Nó cũng xử lý các giá trị dữ liệu dưới dạng mảng và nhận mảng làm (các) đối số.

Khởi chạy bảng tính Excel 2010 mà bạn cần tìm ra phép nhân ma trận. Ví dụ, chúng tôi đã bao gồm một bảng tính chứa các trường; Ma trận1, Ma trận2 và Phép nhân như thể hiện trong ảnh chụp màn hình bên dưới.

= MMULT (array1, array2)

Đối số đầu tiên và thứ hai của hàm là một mảng đơn giản, vì nó nhận mảng làm đối số, chúng ta sẽ đặt vị trí của ô nơi có mảng. Tuy nhiên, bạn cũng có thể nhập trực tiếp các giá trị.

Chúng ta sẽ viết hàm này là;

{= MMULT (A2: B3, E2: F3)}

Vì A2: B3 là vị trí của ô mà ma trận đầu tiên của chúng ta đang cư trú và E2: F3 là vị trí của ma trận thứ hai. Như chúng ta đã xử lý mảng ở đây, vì vậy bạn cần nhấn Ctrl + Shift + Enter để đặt hàm trong dấu ngoặc nhọn, điều này cho biết việc sử dụng mảng.

Bây giờ chọn các ô ma trận đầu tiên trong Phép nhân và chỉ cần nhập chức năng như đã đề cập ở trên. Nó sẽ mang lại kết quả nhân trong 4 ô như chúng ta đã đánh giá ma trận 2 × 2.

Bây giờ lặp lại quy trình tương tự cho tất cả các ma trận 2 × 2. Đối với ma trận 3 × 3, hãy viết lại hàm, bằng cách cung cấp vị trí từng ô trong cả hai ma trận.

{= MMULT (A14: C16, E14: G16)}

Bạn cũng có thể kiểm tra Chức năng hoạt động ma trận đã xem xét trước đó; Đánh giá xác định ma trận (MDETERM) và tìm ra nghịch đảo của ma trận.

Hàm Mmult, Hàm Trả Về Ma Trận Tích Của Hai Ma Trận / 2023

Ở bài viết trước chúng tôi đã giới thiệu đến bạn các hàm về ma trận như hàm MDETERM, hàm MINVERSE trong excel. Bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về cách dùng hàm MMULT, hàm trả về ma trận tích của hai ma trận.

Tìm tích của hai ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính luôn là bài toán khó. Phần mềm Excel có hàm MMULT hỗ trợ tìm tích của hai ma trận một cách chính xác và dễ dàng, tất cả các phiên bản exel trên Office 2016, 2013, Office 2010 đều áp dụng được, đặc biệt là Office 2016 phiên bản mới nhất hiện nay

Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm hiểu về cú pháp, cách dùng và ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn về hàm MMULT trong Office 2010, 2007, hàm trả về ma trận tích của hai ma trận. Hàm MMULT áp dụng cho các phiên bản Office 2016,Office 2013, Office 2010, Office 2007 và Office 2003.

Hàm MMULT, hàm trả về ma trận tích của hai ma trận

MMULT(array1, array2)

Xét ví dụ 1:Tìm tích của hai ma trận: ma trận A { 2,1; 0,2}, ma trận B { 1,3; 7,2}

Bước 1: Mở bảng tính Excel và nhập hai ma trận cần tính vào như hình:

Bước 2: Tại ô B13 nhập công thức: =MMULT(B7:C8,F7:G8)

Bước 3: Nhấn Enter tại ô B13 trả về giá trị 9 như hình:

Bước 4: Tại ô B13 chọn vùng giữ liệu B13: C14 rồi nhấn F2

Xét ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2x + 4y + 10z = 40 2x + 3y + z = 11 3x + 12y – 2z = 9

Bước 5: Nhấn tổ hợp phím Ctrl+Shift+Enter ta sẽ được kết quả như hình:

Bước 1: Mở phần mềm excel nhập hệ số của phương trình tương ứng như hình:

Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận tương ứng với hệ số của vế trái, cụ thể trong trường hợp này là tìm ma trận nghịch đảo của ma trận { 2,4,10; 2,3,1; 3,12 -6}. Nhập công thức MINVERSE(A6:C8) như hình:

Bước 3: Tìm nghiệm của hệ phương trình trên bằng cách tính tích của ma trận nghịch đảo vừa tìm được với ma trận là hệ số của vế phải:

https://thuthuat.taimienphi.vn/ham-mmult-ham-tra-ve-ma-tran-tich-cua-hai-ma-tran-5212n.aspx Kết quả trả về tương ứng: x=1; y=2; z=3

Ma Trận Và Vector Với Numpy / 2023

Dẫn nhập

Trong bài trước, Kteam đã GIỚI THIỆU MACHINE LEARNING VÀ CÀI ĐẶT NUMPY , giúp các bạn một phần hiểu được bản chất của Machine Learning.

Ở bài này chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về Ma trận và vector với NumPy. Với bài này, Kteam sẽ giới thiệu đến các bạn một nội dung khá “toán học”, vì thế nếu cảm thấy mệt mỏi, hoa mắt, chóng mặt, trời đất quay cuồng thì hãy nghĩ ngơi một lúc 😊

Lưu ý: Một số nội dung được trình bày trong video vẫn có thể chưa hoàn toàn chính xác. Vì vậy, sau khi tham khảo góp ý từ cộng đồng , Kteam đã có hiệu chỉnh học liệu và cách diễn đạt các định nghĩa trong bài viết để nội dung có thể đi sát hơn với các tài liệu toán học.

Nội dung

Để theo dõi bài này tốt nhất bạn cần có kiến thức về:

Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về:

Định nghĩa ma trận và vector

Cách khởi tạo ma trận và vector

Các toán tử với ma trận

Identify matrix và Transpose matrix

Ý nghĩa của ma trận và vector trong Machine Learning

Ma trận (matrix) với NumPy

Định nghĩa

Ma trận là một mảng 2 chiều. Trong Python mảng 2 chiều có thể xem là một List của List.

Kích thước

Kích thước của 1 ma trận = số hàng * số cột.

Ví dụ:

Ma trận B có 4 hàng và 3 cột: ma trận 4 x 3

Bạn cũng có thể hiểu ma trận là một sheet với số hàng và số cột nhất định trong excel.

Vector với NumPy

Định nghĩa

Vector là ma trận với 1 cột và nhiều hàng (n * 1)

Kích thước

Kích thước của vector (còn được gọi là chiều vector – vector dimension) là số hàng của vector.

Ví dụ:

Vector có 4 hàng là vector 4 chiều.

Vector tương tự như 1 cột trong excel với số hàng nhất định.

Khởi tạo ma trận và vector với NumPy

Khởi tạo ma trận

Ta có thể khởi tạo ma trận với NumPy bằng np.array:

Trong đó:

Object : một mảng 2 chiều, ta có thể sử dụng một list của list.

: kiểu dữ liệu của các phần tử trong ma trận

: số chiều tối thiểu khi return object, nên đặt = 2 để tiện cho việc indexing ma trận cho Machine Learning.

Ví dụ:

import numpy as np #import numpy and uses shorter keyword _A = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6] ] #array-like object A = np.array(_A) #create a 2-dimension array (matrix) from _A print(A) #print matrix A

Ma trận này cũng tương tự như bảng sau:

Khởi tạo vector

Ta khởi tạo vector như ma trận nhưng chỉ có 1 cột (mảng 1 chiều). Ta có thể xem đây là 1 List.

import numpy as np #import numpy and uses shorter keyword _a = [ 1, 2, 3, 4 ] #array-like object a = np.array(_a) #create a 1-dimension array (vector) from _a print('Vector 4 chiều:', a) #print vector a

Ví dụ:

Indexing ma trận và vector

Ta có thể indexing ma trận và vector theo cấu trúc:

Trong đó:

Ví dụ:

import numpy as np #import numpy and uses shorter keyword _a = [ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5, 6 ] ] #array-like object a = np.array(_a) #create a 2-dimension array (matrix) from _a print('a[0, 1]:', a[0, 1]) #print a[0, 1] element print('a[:, 0]:', a[:, 0]) #print a[:, 0] elements print('a[1, :]:', a[1, :]) #print a[1, :] elements

Các toán tử với ma trận và vector

Cộng và trừ với ma trận

Các phép toán cộng và trừ với ma trận là phép toán ” element-wise “, nghĩa là phép toán với từng phần tử tương ứng.

Tương tự với trừ:

Lưu ý: Để cộng và trừ 2 ma trận, kích thước của cả hai phải giống nhau.

Ví dụ :

import numpy as np _a = [ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5, 6 ] ] _b = [ [ 2, 3, 5], [7, 9, 21] ] a = np.array(_a) #create 2 * 3 matrix: a b = np.array(_b) #create 2 * 3 matrix: b print('a + b:', a + b) #print out a + b print('a - b:', a - b) #print out a - b

Nhân và chia ma trận với số

Để nhân và chia ma trận với số, ta chỉ cần nhân/chia từng phần tử của ma trận với số đó.

Tương tự với chia:

Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [ 3, 2, 1 ], [ 2, 4, 6 ] ] a = np.array(_a) print('a / 2:', a / 2) #print out a / 2 print('a * 2:', a * 2) #print out a * 2

Nhân ma trận với vector

Khi nhân ma trận với vector, ta lấy các phần tử trong cột số của vector nhân lần lượt với các hàng của ma trận để được các tích, sau đó lấy tổng của các tích rồi cho vào từng hàng của kết quả. Chúng ta có thể hình dung như sau:

Kết quả của phép tính luôn là một vector. Số cột của ma trận phải bằng với số hàng của vector.

Phân tích

Đầu tiên, ta xoay ngang vector lại thành

Sau đó nhân lần lượt từng dòng của ma trận với :

Cuối cùng lấy tổng của từng hàng:

Phép nhân ma trận – vector trong NumPy

Trong NumPy, để nhân ma trận với vector như trên, ta có thể dùng:

Từ phiên bản 3.5 trở lên Python đã hỗ trợ toán tử @:

Để hiểu rõ hơn, chúng ta cùng đi đến Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ], [ 5, 6 ] ] a = np.array(_a) #Create a 3 * 2 matrix _b = [ 1, 2 ] b = np.array(_b) #Create a 2-dimension vector print(a) print(b) print('a * b:', a.dot(b)) #print out a * b using narray.dot() print('a * b:', a @ b) #print out a * b using @ operation

Thực hiện từng bước:

Đầu tiên xoay ngang b:

Nhân từng dòng a với b:

Kết quả phép nhân là tổng từng dòng

Nhân ma trận với ma trận

Chúng ta nhân 2 ma trận bằng cách tách 1 ma trận ra thành nhiều vector rồi nhân, sau đó ghép các kết quả lại.

Để nhân 2 ma trận, số cột của ma trận 1 phải bằng số hàng ở ma trận 2.

Một ma trận m * n nhân với một ma trận n * o sẽ cho kết quả là một ma trận m * o

Phân tích

Đầu tiên tách ma trân thứ 2 thành 2 vector nhỏ: thành và

Nhân ma trận đầu lần lượt với 2 vector và : ; ;

Kết quả là 2 vector có cùng kích thước: và

Cuối cùng, ghép 2 vector lại với nhau:

Phép nhân ma trận – ma trận với NumPy

Cũng như nhân ma trận với vector, trong NumPy ta có thể dùng:

Hoặc

Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [ 1, 2 ], [ 3, 4 ], [ 5, 6 ] ] a = np.array(_a) #Create a 3 * 2 matrix _b = [ [1, 3], [2, 1] ] b = np.array(_b) #Create a 2 * 2 matrix print(a) print(b) print('a * b:', a.dot(b)) #print out a * b using narray.dot() print('a * b:', a @ b) #print out a * b using @ operation

Thực hiện từng bước:

Đầu tiên tách ma trân thứ 2 thành 2 vector nhỏ: thành và

Nhân ma trận đầu lần lượt với 2 vector và :

Kết quả là 2 vector có cùng kích thước: và

Cuối cùng, ghép 2 vector lại với nhau:

Tính chất của phép nhân ma trận

Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

Phép nhân ma trận tính chất kết hợp.

Identity matrix (ma trận đơn vị)

Identity matrix là ma trận mà khi nhân với bất kì ma trận khác cùng kích thước, ma trận đó sẽ không đổi. Phép nhân với identity matrix có tính chất giao hoán. Chúng ta có thể xem identity matrix là “số 1” của ma trận.

Cấu trúc của identity matrix là 1 ma trận có số 1 trên đường chéo.

Ví dụ: Ví dụ:

import numpy as np a = np.eye(5) print(a)

Phép nhân “element-wise” với ma trận

Đối với phép nhân element-wise, kết quả sẽ là một ma trận với những phần tử là tích của các phần tử là tích của 2 phần tử tương ứng trong 2 ma trận.

Với NumPy, ta có thể thực hiện phép nhân element-wise bằng toán tử *

Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5, 6 ] ] _b = [ [ 2, 3, 5], [7, 9, 21] ] a = np.array(_a) #create 2 * 3 matrix: a b = np.array(_b) #create 2 * 3 matrix: b print('a .* b:', a * b) #print out a .* b

Toán tử logic với ma trận

Ta hoàn toàn có thể thực hiện các toán tử logic với ma trận. Kết quả trả ra sẽ được ghi vào một ma trận với kích thước tương đương.

Ví dụ:

import numpy as np a = np.eye(5) print(a == 1)

Inverse matrix (ma trận khả nghịch)

Tích của ma trận với ma trận đảo của nó sẽ là một Identity matrix.

Tương tự như trong số tự nhiên: 2 * = 1

Với NumPy function dùng để invert matrix là:

Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ] a = np.array(_a) a_i = np.linalg.pinv(a) #Create inverse of a print(a_i) print(a @ a_i)

Lưu ý: Identity matrix này hiển thị giá trị rất nhỏ thay cho số 0, ta có thể làm tròn để có identity matrix chính xác. Một số ma trận không thể invert.

Transpose matrix (ma trận chuyển vị)

Transpose matrix là ma trận đảo hàng và cột so với ma trận gốc.

Với NumPy ta sử dụng function np.transpose() để transpose matrix.

Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ] a = np.array(_a) a_t = np.transpose(a) #Create transpose of a print(a) print(a_t)

Hàm size với ma trận

Chúng ta có thể sử dụng hàm size để lấy kích thước của ma trận:

Trong đó:

Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ] a = np.array(_a) print(np.size(a)) print(np.size(a, 1))

Hàm sum và max/min với ma trận

Chúng ta có thể sử dụng hàm sum để lấy tổng các phần tử, max để lấy phần tử lớn nhất, min để lấy phần tử nhỏ nhất.

Cấu trúc:

Trong đó

axis: chiều, nếu là 0 sẽ tính theo cột, 1 sẽ tính theo hàng, mặc định sẽ tính trên cả ma trận.

Ví dụ:

import numpy as np _a = [ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ] a = np.array(_a) print(np.sum(a, 0)) print(np.max(a)) print(np.min(a, 1))

Ý nghĩa của ma trận trong Machine Learning

Đối với Machine Learning, chúng ta phải xử lí những dữ liệu với số lượng rất lớn, ta không thể cứ dùng vòng lặp duyệt qua từng dữ liệu được vì sẽ thiếu tối ưu về tốc độ. Vì thế chúng ta cần một công cụ mạnh hơn để xử lí những dữ liệu số lượng lớn, đó là ma trận. Với các phép tính với ma trận, chỉ cần 1 dòng lệnh ta đã có thể cùng lúc thực hiện phép tính trên nhiều dữ liệu.

Kết luận

Bài viết này đã hướng dẫn cho các bạn về ma trận và vector với NumPy.

Ở bài sau, Kteam sẽ giới thiệu về THUẬT TOÁN LINEAR REGRESSION VÀ HÀM HYPOTHESIS

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần BÌNH LUẬN bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện chúng tôi để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.

Cách Tính Và Ý Nghĩa Ma Trận Hiệp Phương Sai (Covariance Matrix) / 2023

Bài viết này mình không nói sâu về lý thuyết mà tập trung giải thích về các bước tính toán ma trận hiệp phương sai, cũng như giải thích ý nghĩa của ma trận này để bạn cảm thấy dễ nhớ hơn là việc học thuộc công thức. Cách hiểu này cũng sẽ hỗ trợ bạn trong việc ứng dụng, khi nào áp dụng việc tính toán covariance matrix trong quá trình làm nghiên cứu.

Ma trận hiệp phương sai của tập hợp m biến ngẫu nhiên là một ma trận vuông hạng (m × m), trong đó các phần tử nằm trên đường chéo (từ trái sang phải, từ trên xuống dưới) lần lượt là phương sai tương ứng của các biến này (ta chú ý rằng Var(X) = Cov(X,X)), trong khi các phần tử còn lại (không nằm trên đường chéo) là các hiệp phương sai của đôi một hai biến ngẫu nhiên khác nhau trong tập hợp.

Nguồn: Ma trận hiệp phương sai – Wikipedia

Định nghĩa ma trận hiệp phương sai có vẻ khó hiểu, nhưng khi ta xem xét một bài toán cụ thể thì sẽ dễ hiểu hơn. Ta xem xét ví dụ sau và cách tính toán ma trận hiệp phương sai.

Ta có 3 mẫu dữ liệu sau:

A = (-2, -2) B = (-1, 4) C = (2, 3)

Như vậy ta có N mẫu dữ liệu (N=3), và mỗi mẫu dữ liệu là một điểm trên không gian 2 chiều (m=2). Nếu trực quan hóa thì 3 điểm dữ liệu A, B, C sẽ nằm như sau trên trục tọa độ:

Để tính toán ma trận hiệp phương sai kích thước mxm (2×2), ta làm như sau:

I. Sắp mẫu dữ liệu thành ma trận m x N

Với 3 mẫu dữ liệu trên, ta tìm cách sắp chúng lại thành ma trận có kích thước m x N (2 dòng, 3 cột). Để làm điều đó dễ dàng, ta sắp chúng thành ma trận có kích thước N x m trước, sau đó chuyển vị để được ma trận m x N.

Nhắc lại:

Ma trận N x m:

[begin{bmatrix}-2&-2\-1&4\2&3end{bmatrix}]

Chuyển vị ma trận N x m thành ma trận m x N, đặt tên là K:

[K = begin{bmatrix}-2&-1&2\-2&4&3end{bmatrix}]

Ma trận K có kích thước m x N (2×3) với m là số chiều của mẫu dữ liệu, N là số mẫu dữ liệu.

II. Tính mẫu trung bình

Do mỗi điểm của chúng ta nằm trên không gian 2 chiều (m=2), do đó khi ta tìm trọng tâm M (giá trị trung bình của N mẫu trên không gian m chiều, tạm gọi nó là mẫu trung bình) thì trọng tâm này cũng là 2 chiều.

Mx = ((-2) + (-1) + 2) / 3 = -1/3 = -0.33 (đã làm tròn)

My = ((-2) + 4 + 3) / 3 = 5/3 = 1.67 (đã làm tròn)

M = (Mx, My) = (-0.33, 1.67)

Nói cách khác, để tính M, ta tính trung bình trên từng dòng của ma trận K. Kết quả biểu diễn dưới dạng ma trận:

[K = begin{bmatrix}-2&-1&2\-2&4&3end{bmatrix}, M = begin{bmatrix}-0.33\1.67end{bmatrix}]

III. Trừ mỗi mẫu với giá trị trung bình để tìm độ lệch

Ta nhân bản ma trận M thành tương ứng N mẫu được ma trận M2:

[M_2 = begin{bmatrix}-0.33&-0.33&-0.33\1.67&1.67&1.67end{bmatrix}]

Sau đó trừ từng phân tử của ma trận M với từng phân tử tương ứng của ma trận M2:

[D = K – M_2 = begin{bmatrix}-1.67&-0.67&2.33\-3.67&2.33&1.33end{bmatrix}]

IV. Tính ma trận hiệp phương sai m x m

Ma trận hiệp phương sai C:

[C = frac{1}{N-1} * D * D^T = frac{1}{3-1} begin{bmatrix}-1.67&-0.67&2.33\-3.67&2.33&1.33end{bmatrix} * begin{bmatrix}-1.67&-3.67\-0.67&2.33\2.33&1.33end{bmatrix} = frac{1}{2} begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} \ c_{21} & c_{22}end{bmatrix}]

Nhắc lại phép nhân ma trận:

(c_{11} = (-1.67)*(-1.67) + (-0.67)*(-0.67) + (2.33)*(2.33) = 8.67) (c_{12} = (-1.67)*(-3.67) + (-0.67)*(2.33) + (2.33)*(1.33) = 7.67) (c_{21} = (-3.67)*(-1.67) + (2.33)*(-0.67) + (1.33)*(2.33) = 7.67) (c_{22} = (-3.67)*(-3.67) + (2.33)*(2.33) + (1.33)*(1.33) = 20.67)

Vậy ma trận hiệp phương sai C là:

[C = frac{1}{2} begin{bmatrix} 8.67 & 7.67 \ 7.67 & 20.67 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 4.33 & 3.835 \ 3.835 & 10.33 end{bmatrix}]

V. Nhận xét ma trận hiệp phương sai (covariance matrix)

(c_{11}) và (c_{22}) lần lượt là phương sai (variance) của trục X và trục Y. Nói cách khác, các phần tử trên đường chéo chính của ma trận hiệp phương sai là các phương sai của các mẫu dữ liệu.

Ma trận hiệp phương sai có tính chất đối xứng qua đường chéo chính. Lý do: bạn sẽ để ý rằng (c_{12}) và (c_{21}) được tính bởi tích vô hướng của 2 vector (r_1*r_2) và (r_2*r_1) đều cho ra kết quả tính toán như nhau.

Đây là nhận xét chủ quan của Minh đúc kết về ý nghĩa của ma trận hiệp phương sai dựa trên quá trình tính toán trong ví dụ phía trên.

Các phần tử trên đường chéo chính của ma trận hiệp phương sai lần lượt là các phương sai của các mẫu dữ liệu theo từng chiều trong không gian m chiều.

Ma trận hiệp phương sai có tính chất đối xứng qua đường chéo chính.

Ta có thể dùng ngôn ngữ lập trình Python và thư viện hỗ trợ Numpy để kiểm chứng kết quả tính toán ma trận hiệp phương sai bằng đoạn code như sau:

chúng tôi

Kết quả:

Kết quả mà Minh đã tính toán trong ví dụ trên có sự sai lệch nhỏ là do làm tròn ở các bước tính trung gian.

Bạn đang xem bài viết Phép Nhân Ma Trận Excel 2010 (Mmult) / 2023 trên website Trucbachconcert.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!